【数学III】積分による「回転体の体積」をスキャンして理解する

数学Ⅲの積分で登場する「回転体の体積」。公式 $V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx$ を暗記するだけでなく、実際に図形が回転して積み重なっていく様子を視覚的に理解しましょう。

以下のシミュレーターでは、関数 $y = \sqrt(x)$ などを $x$ 軸周りに回転させた時の様子を再現しています。

回転体シミュレーター

スライダーを動かして、回転のプロセスや断面の積み重ねを確認してみてください。

このデモでは、以下の2点を直感的に理解させることを目的としています。

1. 断面は常に「円」である: どの $x$ においても、$y$ 軸方向に回転させるため、断面は半径 $f(x)$ の円になります。
2. 微小な円柱の積み重ね: 「スキャン（分割数）」を増やすほど、薄い円柱が積み重なって元の図形の形に近づいていきます。これが積分計算 $$V = \int_{a}^{b} S(x) dx = \int_{a}^{b} \pi \{f(x)\}^2 dx$$ の本質です。

2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ に囲まれた部分を $x$ 軸まわりに回転させる問題では、以下の公式を使います。

$$V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)^2 – g(x)^2\} dx$$

なぜ「関数の差を2乗」するのではなく、「2乗の差」を計算するのでしょうか？

その答えはシミュレーターの断面図にあります。

断面を表示してみると、中心から外側までの距離（外径）が $f(x)$、中心から内側までの距離（内径）が $g(x)$ となっています。

断面の面積 $S(x)$ は：

1. 外側の円の面積： $\pi \{f(x)\}^2$
2. 内側の空洞の面積： $\pi \{g(x)\}^2$

この2つを引き算して、$S(x) = \pi \{f(x)^2 – g(x)^2\}$ となるのです。

「断面がドーナツ型であること」を視覚的に理解しておけば、試験本番で公式をど忘れしたり、間違えたりすることはもうありません。