[図形を動かして学ぶ]複素数平面上の点の軌跡

数学Ⅲ「複素数平面」の内容を含んだ奇跡の問題って、どのように解いていけばよいか悩むところです。デモも使いながら、複数の解法を確認してみましょう。

この問題は大きく分けると以下の３通りの解法が考えられます。

1. 式変形による解法
2. 通常の $xy$ 平面上で考える解法
3. 式から図形的に考える解法

今回は3の解法をデモ画面で紹介します。1と2の解法もその後に掲載します。

図形的に考える解法

(アニメーションの速度)

遅 やや遅 中 速

点 $z$ を表示する
点 $2iz$ を表示する
点 $w$ を表示する

複素数 $a+bi$ ($a,b$ は実数)は座標平面上で点 $(a,b)$ を表すので、点 $z$ が動く図形は座標平面では $(1,2)$ を中心とする半径 $1$ の円(デモでは黒い円で表示)を表します。

一方、$2i=2(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$ と表せます。

そのため、点 $2iz$ は点 $z$ を、

原点を中心に反時計回りに $\frac{\pi }{2}$ だけ回転し、さらに原点からの距離を $2$ 倍 $\cdots \mathrm{①}$

にした点であることがわかります。

上のデモで「点 $z$ を表示する」「点 $2iz$ を表示する」の2つにチェックを入れて「動かす」ボタンを押してみてください。

点 $z$ (黒点)と点 $2iz$ (青点)が常に①を満たしながら動いているのが分かるでしょうか。

このことから、黒い円と青い円も①を満たした関係になっています。

円がどのように移っているかは、以下のように考えれば分かるでしょう。

• 黒い円の中心 $(1,2)$ を原点を中心に $\frac{\pi }{2}$ 回転すると$(-2,1)$ に移り、さらに原点からの距離を $2$ 倍にすると点 $(-4,2)$ に移る(複素数を用いて $(1+2i)\times 2i$ を計算して導いてもよい)。

• 回転移動のあと、原点を中心に $2$ 倍に拡大するので、青い円の半径も黒い円の半径の $2$ 倍になる。

さらに、点 $w=2iz-4i+5$ は点 $2iz$ を

$5-4i$ ( $x$ 軸方向に $5$、$y$ 軸方向に $-4$ )だけ平行移動 $\cdots \mathrm{②}$

した点です。

上のデモで「点 $2iz$ を表示する」「点 $w$ を表示する」の2つにチェックを入れて「動かす」ボタンを押してみてください。

すると、点 $2iz$ を表す青点と点 $w$ を表す赤点が連動して動いているのが分かると思います。

これらの点を結んだ緑の破線は大きさと向きが一定のままですね。

青点と赤点は②を満たしながら動いているということになります。

そして、青い円と赤い円も②を満たしています。すなわち、

• 青い円の中心 $(-4,2)$ は $(1,-2)$ に移る(複素数を用いて$(-4+2i)+(5-4i)$を考えてもよい)

• 平行移動なので半径は青い円と変わらない

以上のことを考えれば、特に計算をしなくても点 $w$ の描く図形は

中心 $1-2i$、半径 $2$ の円

と答えることができます。

式変形による解法

式変形により点 $w$ の描く図形を求める方法を説明します。教科書ではこの方法で解説されていることがほとんどです。

ここでは以下の性質を利用します。

点 $z$ は中心 $1+2i$ , 半径 $1$ の円上を動くので

$$|z-(1+2i)|=1\cdots \mathrm{③}$$

が成り立ちます。一方、$w=2iz-4i+5$ より

$z=\frac{w-5+4i}{2i}$が成り立つので、これを③に代入すると

$$|\frac{w-5+4i}{2i}–(1+2i)|=1$$

絶対値の中身を通分して

$$\left|\frac{w-(1-2i)}{2i}\right|=1$$

$$\frac{|w-(1-2i)|}{|2i|}=1$$

$|2i|=2$なので

$$\frac{|w-(1-2i)|}{2}=1$$

$$\therefore |w-(1-2i)|=2$$

よって点 $w$ の描く図形は、中心 $1-2i$、半径 $2$ の円となります。

$xy$ 平面上で考える解法

ここでは、複素数平面上での軌跡の問題を通常の $xy$ 平面の問題に置き換えて考えてみることにします。

$z=s+ti,w=x+yi$ ($s$、$t$、$x$、$y$ は実数)とおき、複素数平面上で $z,w$ を表す点をそれぞれP, Qとおきます。

「点 $z$ が、中心 $1+2i$ , 半径 $1$ の円上を動く」とは、$xy$ 平面上では

「点Pが、中心 $(1,2)$, 半径 $1$ の円上を動く」ということになるので、

$$(s-1{)}^2+(t-2{)}^2=1\cdots \mathrm{④}$$

が成り立ちます。

また、$w=2iz-4i+5$ であることから

$$x+yi=2i(s+ti)-4i+5$$

$$\therefore x+yi=(5–2t)+(2s-4)i$$

$x,y,s,t$ は実数なので

$$\{\begin{array}{l}x=5–2t\\ y=2s-4\end{array}$$

$$\therefore \{\begin{array}{l}s=\frac{y+4}{2}\\ t=–\frac{x-5}{2}\end{array}$$

これらを④に代入して

$${\left(\frac{y+4}{2}–1\right)}^2+{\left(–\frac{x-5}{2}–2\right)}^2=1$$

$${\left(\frac{y+2}{2}\right)}^2+{\left(–\frac{x–1}{2}\right)}^2=1$$

$$\frac{(y+2{)}^2}{4}+\frac{(x-1{)}^2}{4}=1$$

$$\therefore (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$$

よって $xy$ 平面上で点Qは、中心 $(1,-2)$、半径 $2$ の円上を動くので、

複素数平面上において点 $w$ の描く図形は、中心 $1-2i$、半径 $2$ の円となります。