【数学B】コラッツ予想(数列・漸化式)

数学界最大のミステリー「コラッツ予想」：高校数学の「数列」を超えた未解決事件

数学の授業で習う「数列」といえば、等差数列や等比数列。

これらは、「前の項に何かを足す」あるいは「何かを掛ける」という決まったルールがずっと続く、非常に素直で予測しやすい存在です。

しかし、その「ルール」をほんの少し変えるだけで、現代数学の最高峰たちが100年近く挑んでも解けない、恐ろしい数列が生まれます。それが「コラッツ予想」です。

1. ルールはたったの2つだけ

この数列には、次の2つの操作しかありません。

任意の正の整数 $n$ から始めて、

• $n$ が偶数のとき： $n$ を $2$ で割る
• $n$ が奇数のとき： $n$ を $3$ 倍して $1$ を足す

この計算を繰り返すと、「どんな数字から始めても、必ず最後は $1$ にたどり着くはずだ」というのがコラッツ予想の内容です。

たとえば「$6$」から始めると：

$6 \rightarrow 3 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$

たしかに最後は $1$ になりました。

2. 高校数学の「数列」との決定的な違い

高校の数学Bで学ぶ数列は、隣り合う項の関係式（漸化式）で表されます。

• 等差数列： $a_{n+1} = a_n + d$
• 等比数列： $a_{n+1} = r \cdot a_n$

これらは、 $n$ が大きくなったときの結果（一般項 $a_n$）を公式でピタリと予言できます。

しかし、コラッツ数列は「条件分岐する漸化式」です。$$a_{n+1} = \begin{cases} a_n / 2 & (a_n \text{ が偶数}) \\ 3a_n + 1 & (a_n \text{ が奇数}) \end{cases}$$

たったこれだけの分岐があるだけで、一般項を求める公式は作れなくなり、数列の動きは予測不能なカオスへと変貌します。

3. 【検証】シミュレーターで「数字の旅」を見てみよう

実際にどんな動きをするのか、下のシミュレーターで試してみてください。

「$27$」と入力すると、わずか $27$ から始まった数字がジェットコースターのように乱高下し、最高で $9232$ まで跳ね上がる様子がわかります。

4. いまのところ分かっていること

これほど単純な問題なのに、いまだに「証明」されていません。しかし、いくつかの興味深い事実は判明しています。

① コンピュータによる力押し

現在、コンピュータを使って $2^{68}$（約30京！） までの数字については、すべて $1$ にたどり着くことが確かめられています。しかし、数学において「たくさん試して全部そうだった」は証明にはなりません。「1つでも $1$ にならない数字（反例）」が見つかれば、この予想は崩壊します。

② 天才テレンス・タオの接近

2019年、数学界のノーベル賞と言われるフィールズ賞受賞者のテレンス・タオ氏が、「ほとんどすべての数において、コラッツ数列は元の数よりずっと小さくなる」という、解決に極めて近い重要な論文を発表しました。それでもなお、完全な解決には至っていません。

③ 1億2000万円の懸賞金

日本の企業が、この問題の解決に対して 1億2000万円 の懸賞金をかけています。数学の問題にこれほどの私金が投じられるのは、世界的に見ても極めて異例なことです。

5. まとめ：数学の深淵へ

「偶数なら $2$ で割り、奇数なら $3n+1$ する」

高校生でも理解できるこのシンプルなルールの中に、人類の知性がまだ到達できない深淵が隠されています。

有名数学者ポール・エルデシュは「数学は、まだこの種の問題に対する準備ができていない」と言い残しました。

あなたも今日から、数列を見る目が少し変わるかもしれません。もしシミュレーターで、どれだけ計算しても $1$ に戻らない「魔法の数字」を見つけたら……。それは歴史が変わる瞬間です。