定義域が変化する場合の2次関数の最大・最小問題です。「軸と定義域の位置関係」が大事なのですが、どういうことか視覚的に捉えていきましょう。
この問題は、定義域に$a$を含むために簡単には求められない問題ですね。
この問題を考えるために、視覚的に捉える練習をしましょう。
下のスライダーを動かすと $a$ の値が変化します。それに伴い、2本の縦線(直線 $x=a$ および直線 $x=a+2$ )も動きます。
$a$ と $a+2$ の差は $2$ で一定なので、この2本の縦線は幅が一定のまま動くことがイメージできるようにしてください。
この2本線の間は、定義域内であることが分かるよう、色を塗り、放物線が太くしてあります。
太線の部分だけ見て、$y$ はどこで最大・最小になるかを確かめてみましょう。
また、「最大値の場所を表示」「最小値の場所を表示」のラジオボタンにチェックを入れてからスライダーを動かすと、最大あるいは最小となる場所を点で示してくれます。
a =
どうでしたか？動かしてみて、最大・最小の場所がイメージできましたか？
実際のテストなどでは、このように画面上で動かすことができないので、自分の頭で動きをイメージした上で解答することが求められます。
$a$ がどの値の時にどこで最大・最小をとるのか。
考え方のポイントは、軸と定義域の位置関係です。(今回の問題では放物線 $y=x^2$ の軸は $y$ 軸すなわち直線 $x=0$ です)
最大値
「最大値の場所を表示」のラジオボタンをクリックして、スライダーを動かしてみましょう。
すると、最大の場所を表す赤丸の位置が、
- 定義域の左端
- 定義域の両端(2箇所に赤丸が出現)
- 定義域の右端
の３パターンであることが分かります。
定義域の両端が最大となるのは、$a=-1$ のときです。このときの定義域は、$-1 \text{≦} x \text{≦} 1$ です。
そしてこのとき、定義域のちょうど中央に軸があります。
2次関数のグラフは放物線であり、軸を中心に左右対称です。
なので、定義域の中央が軸と重なるとき、定義域の両端は同じ値をとります。
そして、2本の縦線がここよりも
左に行けば(つまり、$a<-1$ であれば)定義域の左端が最大、
右に行けば(つまり、$a>-1$ であれば)定義域の右端が最大
ということになります。
最小値
「最小値の場所を表示」のラジオボタンをクリックして、スライダーを動かしてみましょう。
すると、最小の場所を表す青丸の位置が、
- 定義域の右端
- 頂点
- 定義域の左端
の３パターンであることが分かります。
最小値も、軸と定義域の位置関係から考えていきましょう。
定義域の右端で最小となるのは、軸が定義域より右側(すなわち、$a+2<0$ )のときです。
頂点で最小となるのは、軸が定義域の内部にある(すなわち、$a \text{≦} x \text{≦} a+2$ )ときです。
定義域の左端で最小となるのは、軸が定義域より左側(すなわち、$0<a$ )のときです。
このことを、もう一度スライダー を動かして確認してみましょう。
まとめ
$a$ の値が変化すると、図形がどのように動くか、問題文からイメージできるようにしましょう。
そして、軸と定義域の位置関係に着目して、場合分けして解答を丁寧に記述できるよう、問題演習を積み重ねていってください。
解けた人はこちらの問題もやってみましょう(軸が動くパターン)
問題の解答
(最大値)
$a<-1$ のとき $x=a$ で最大値 $a^2$
$a=-1$ のとき $x= \pm 1$ で最大値 $1$
$a>-1$ のとき $x=a+2$ で最大値 $(a+2)^2$
(最小値)
$a<-2$ のとき $x=a+2$ で最小値 $(a+2)^2$
$-2 \text{≦} a \text{≦} 0$ のとき $x=0$ で最小値 $0$
$a>0$ のとき $x=a$ で最小値 $a^2$
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